Подробные решения с объяснениями
Линейное преобразование \( A: L \to L \) имеет матрицу \( A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \) в базисе \( e_1, e_2 \). Найти его матрицу в базисе \( e_1' = e_1 + 2e_2, e_2' = -e_1 - e_2 \), убедившись, что \( e_1', e_2' \) — базис.
Шаг 1: Убедимся, что \( e_1', e_2' \) образуют базис.
Для этого проверим линейную независимость системы \( e_1', e_2' \). Составим матрицу из координат этих векторов в исходном базисе:
\[ C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \]
Найдем определитель: \( \det C = 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 = -1 + 2 = 1 \neq 0 \).
Так как определитель не равен нулю, векторы линейно независимы и образуют базис.
Шаг 2: Найдем матрицу перехода \( S \) от базиса \( e \) к базису \( e' \).
Матрица перехода состоит из координат новых базисных векторов в старом базисе:
\[ S = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \]
Шаг 3: Найдем обратную матрицу \( S^{-1} \).
Для матрицы \( S = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) обратная матрица вычисляется по формуле:
\[ S^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]
В нашем случае:
\[ S^{-1} = \frac{1}{1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 2} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \]
Шаг 4: Найдем матрицу преобразования \( A' \) в новом базисе по формуле:
\[ A' = S^{-1} A S \]
Выполним умножение матриц:
\[ A' = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \]
Сначала умножим первые две матрицы:
\[ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+1\cdot2 & (-1)\cdot2+1\cdot0 \\ (-2)(-1)+1\cdot2 & (-2)\cdot2+1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 & -2+0 \\ 2+2 & -4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} \]
Теперь умножим результат на матрицу \( S \):
\[ \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1+(-2)\cdot2 & 3\cdot(-1)+(-2)\cdot(-1) \\ 4\cdot1+(-4)\cdot2 & 4\cdot(-1)+(-4)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-4 & -3+2 \\ 4-8 & -4+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \]
Ортогональным преобразованием привести квадратичную форму \( F(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 4xy \) к каноническому виду. Указать соответствующее преобразование.
Шаг 1: Запишем матрицу квадратичной формы:
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
Шаг 2: Найдем собственные значения матрицы \( A \), решая характеристическое уравнение \( \det(A - \lambda I) = 0 \):
\[ \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & -2 & 0 \\ -2 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0 \]
Раскрываем определитель:
\[ (2-\lambda) \cdot \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} - (-2) \cdot \det \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} + 0 = 0 \]
\[ (2-\lambda)[(2-\lambda)^2] + 2[-2(2-\lambda)] = 0 \]
\[ (2-\lambda)^3 - 4(2-\lambda) = 0 \]
\[ (2-\lambda)[(2-\lambda)^2 - 4] = 0 \]
\[ (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda) = 0 \]
\[ (2-\lambda)\lambda(\lambda - 4) = 0 \]
Собственные значения: \( \lambda_1 = 0 \), \( \lambda_2 = 2 \), \( \lambda_3 = 4 \)
Шаг 3: Найдем собственные векторы для каждого собственного значения.
Для \( \lambda_1 = 0 \):
\[ (A - 0I)v = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \]
Решаем систему:
\[ \begin{cases} 2x - 2y = 0 \\ -2x + 2y = 0 \\ 2z = 0 \end{cases} \Rightarrow x = y, z = 0 \]
Собственный вектор: \( v_1 = (1, 1, 0) \). Нормируем: \( \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0) \)
Для \( \lambda_2 = 2 \):
\[ (A - 2I)v = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \]
Решаем систему:
\[ \begin{cases} -2y = 0 \\ -2x = 0 \\ 0 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 0, y = 0, z - \text{любое} \]
Собственный вектор: \( v_2 = (0, 0, 1) \). Нормируем: \( (0, 0, 1) \)
Для \( \lambda_3 = 4 \):
\[ (A - 4I)v = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \]
Решаем систему:
\[ \begin{cases} -2x - 2y = 0 \\ -2x - 2y = 0 \\ -2z = 0 \end{cases} \Rightarrow x = -y, z = 0 \]
Собственный вектор: \( v_3 = (1, -1, 0) \). Нормируем: \( \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0) \)
Шаг 4: Составим матрицу ортогонального преобразования из нормированных собственных векторов:
\[ Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Шаг 5: Канонический вид квадратичной формы:
\[ F = 0 \cdot x'^2 + 2 \cdot y'^2 + 4 \cdot z'^2 \]
Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированный базис евклидова пространства \( \mathbb{R}^3 \) на основе векторов
\[ a_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad a_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad a_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]
Шаг 1: Проверим линейную независимость векторов.
Составим матрицу из векторов и найдем ее определитель:
\[ \det \begin{pmatrix} 0 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + (-3) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = -3 \cdot (1 \cdot 4 - 2 \cdot 0) = -12 \neq 0 \]
Определитель не равен нулю, значит векторы линейно независимы и образуют базис.
Шаг 2: Применим процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
Положим \( b_1 = a_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Найдем \( b_2 = a_2 - \frac{\langle a_2, b_1 \rangle}{\langle b_1, b_1 \rangle} b_1 \):
\[ \langle a_2, b_1 \rangle = 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 2 \]
\[ \langle b_1, b_1 \rangle = 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1 \]
\[ b_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \frac{2}{1} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \]
Найдем \( b_3 = a_3 - \frac{\langle a_3, b_1 \rangle}{\langle b_1, b_1 \rangle} b_1 - \frac{\langle a_3, b_2 \rangle}{\langle b_2, b_2 \rangle} b_2 \):
\[ \langle a_3, b_1 \rangle = (-3) \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2 \]
\[ \langle a_3, b_2 \rangle = (-3) \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 = 4 \]
\[ \langle b_2, b_2 \rangle = 0^2 + 0^2 + 4^2 = 16 \]
\[ b_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{2}{1} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{4}{16} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Шаг 3: Нормируем полученные векторы.
Нормируем \( b_1 \):
\[ \|b_1\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \]
\[ e_1 = \frac{b_1}{\|b_1\|} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]
Нормируем \( b_2 \):
\[ \|b_2\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4 \]
\[ e_2 = \frac{b_2}{\|b_2\|} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Нормируем \( b_3 \):
\[ \|b_3\| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 0^2} = 3 \]
\[ e_3 = \frac{b_3}{\|b_3\|} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]